Švehlíkova cesta k herectví nebyla přímá. Po studiu strojní průmyslovky se neúspěšně pokoušel o přijetí na DAMU. Svůj talent však nezapřel a už ve 23 letech získal angažmá v Západočeském divadle v Klatovech. Následovala angažmá v oblastních divadlech v Mostě, Olomouci a Liberci. V roce 1974 se přestěhoval do Prahy, kde nejprve působil v Městských divadlech pražských a později, v roce 1988, zakotvil v Národním divadle, kde strávil 37 let.
Před kamerou se Švehlík poprvé objevil v 70. letech a zahrál si v mnoha filmech, například Dým bramborové natě, Mladý muž a bílá velryba, Povídky malostranské nebo Smrt krásných srnců. Diváci si ho pamatují i z Černých baronů, z pohádek Princezna ze mlejna, filmů Bolero a Alois Nebel a ze seriálů Letiště, Cesty domů, Já, Mattoni nebo Hořící keř.
Kromě herectví se Alois Švehlík proslavil i jako dabér. Jeho hlasem promlouvali například Jack Nicholson ve filmu Lepší už to nebude, Antony Quinn ve snímku Tajemství Santa Vittorie nebo komisař Schimanski v podání Götze Georgeho. Za svůj přínos dabingu obdržel třikrát Cenu Františka Filipovského, v roce 2014 pak cenu za celoživotní mistrovství v dabingu.
Alois Švehlík byl od roku 1967 ženatý s Florentinou Švehlíkovou. Měli spolu tři děti, dcery Terezu a Andreu a syna Davida, který se rovněž věnuje herectví.
